測量與誤差(精)

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測量與誤差

人們對自然現象的研究,不僅要進行定性的觀察,還必須通過各種測量進行定量描述。由于被測量的數值形式常常是不能以有限位的數來表示;由于人們的認識能力的不足和科學水平的限制,實驗中測得的值和它的真值并不一致,這種矛盾在數值上的表現即為誤差。隨著科學水平的提高和人們的經驗、技巧和專門知識的豐富,誤差可以控制得越來越少,但不能使誤差為零,誤差始終存在于一切科學實驗的過程中。

由于誤差歪曲了事物的客觀形象,而它們又必然存在,所以,我們就必須分析各類誤差產生的原因及其性質,從而制定控制誤差的有效措施,正確處理數據,以求得正確的結果。

研究實驗誤差,不僅使我們能正確鑒定實驗結果,還能指導我們正確地組織實驗。如合理地設計儀器,選用儀器及選定測量方法,使我們能以最經濟的方式獲得最有利的效果。

一、 誤差的定義

誤差表示給出值與真值的差量。

誤差所指的是一個實驗的估計不準度。

給出值指測量值、標示值、標稱值、矛置值、近似值等給出的非真值。

真值是指在某一時刻和某一位置,或某一狀態某量的客觀值或實標值。

真值可以分下面幾類:

a 、理論真值

如平面三角形三個內角和為1800;同一量自身之差為零;自身之比為1。等等。

b、計量學約定真值

如長度單位:米——1米等于氪86原子的2P10和5d能級之間躍遷的輻射在真空中波長的1650763.73倍。

時間單位:秒——1秒是銫133原子基態的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的9192631770個周期的持續時間。

電流強度單位:安培——1安培是一恒定電流,如果處在真空中相距1米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導線,所載電流各保持1安培,則這兩導線間每單位長度的作用力為2×10-7牛頓米。

溫度單位:開爾文——開爾文是水的三相點熱力學溫度的1/273.16。

c、標準器相對真值

高一級標準器的誤差與低一級標準器或普通儀器的誤差相比,為1/5(或者1/8—1/10)時,則可以認為前者是后者的相對真值。

平均誤差、相對誤差、標準誤差、可幾誤差。

平均誤差:在一組測量中,測得值為X1、X2······Xn ,其真值為X。

則平均誤差定義為:

它反映測得值離真值的大小,故又稱絕對誤差,在多次測量中,可用平均值代替真值。平均值:

相對誤差:例如用一頻率計測量準確值為100千赫的頻率源、測得值為101千赫,測量誤差為1千赫,又用波長表測量一準確值為1兆赫的標準頻率源,測得值為1,001兆赫,其誤差也為1千赫。上面兩個測量,從誤差的絕對量來說是一樣的,但它們是在不同頻率點上作測量的,它們的準確度是不同的。為描述測量的準確度而引入相對誤差的概念。

定義:相對誤差=誤差÷真值, 一般用百分數表示。

我們在測量中經常使用電氣儀表,電氣儀表的準確度分為0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5和5.0七級,若儀表為S級,則用該儀表測量時絕對誤差為:

絕對誤差≤XS×S%

XS為滿刻度值。

相對誤差為≤

故當X越接近于X滿時,其測量準確度越高,相對誤差越小。這就是人們利用這類儀表時,盡可能在儀表滿刻度2/3以上量程內測量的原因。所以測量的準確度不僅決定于儀表的準確度,還決定于量程的選擇。

如用一0.5級、量程為0~300伏的電壓表和一1.0級量程為0~100伏的電壓表測量一接近100伏的電壓,問那個測量較為準確?

因為

可見量程選擇恰當,用1.0級表進行測量也會得到比用0.5級表,而量程選擇不當時更為準確的結果。

標準誤差:也稱為方根誤差。

標準誤差,定義為:

在有限次測量中常用表示,一般利用標準誤差來表示精密度。

可幾誤差:可幾誤差也稱為必然誤差,它的意義為:在一組測量中若不計正負號,誤差大于r的測量值與小于r的測量值的數目各占一半。

可幾誤差r標準誤差δ的關系為:

r=0.6745δ

二、誤差來源

1、裝置誤差

1)標準器誤差:標準器是提供標準量的器具,如標準電池、標準電阻、標準鐘等。它們本身體現的量都有誤差。

2)儀表誤差:如電表、天平、游標等本身的誤差。

3)附件誤差:進行測量時所使用的輔助附件,如開關、電源、連接導線所引起的誤差。

2、環境誤差:

由于各種環境因素(如溫度、濕度、氣壓、震動、照明、電磁場等)與要求的標準狀態不一致,及其在空間上的梯度、與隨時間的變化,致使測量裝置和被測量本身的變化所引起誤差。

3、人員誤差:

測量者生理上的最小分辨力,感官的生理變化,反應速度和固有習慣所引起的誤差。

4、方法誤差:

1)經驗公式、函數類型選擇的近似性及公式中各系數確定的近似值所引起的誤差。

2)在推導測量結果表達式中沒有得到反映,而在測量過程中實際起作用的一些因素引起的誤差,如漏電、熱電勢、引線電阻等一些因素引起的誤差。

3)由于知識不足或研究不充分引起的方法誤差。

三、誤差的分類

1.系統誤差

定義:在同一條件下多次測量同一量時,誤差的絕對值和符號保持恒定或在條件改變時,按某一確定規律變化的誤差,它的特點是其確定性。

實驗條件一經確定,系統誤差就獲得一個客觀上的恒定值。多次測量的平均值也不能削弱它的影響,改變實驗條件或改變測量方法可以發現系統誤差,可以通過修正予以消除。

2.偶然誤差

定義:在同一條件下多次測量同一量時,誤差的絕對值和符號隨機變化,它的特點是隨機性,沒有一定規律,時大時小,時正時負,不能予定。

由于偶然誤差具有偶然的性質,不能預先知道,因而也就無法從測量過程中予以修正或把它加以消除,但是偶然誤差,在多次重復測量中服從統計規律,在一定條件下,可以用增加測量次數的方法加以控制,從而減少它對測量結果的影響。

3.過失誤差(粗大誤差)

定義:明顯歪曲測量結果的誤差。這是由于測量者在測量和計算中方法不合理,粗心大意,記錯數據所引起的誤差。只要實驗者采取嚴肅認真的態度是可以避免的。

四、精度

不準確或不精確度是指給出值偏離真值的程度,它與誤差的大小相對應。習慣上稱為準確度,其含義乃是不準確之意。

精度一詞可細分為精密度,準確度和精確度。

1.精密度:表示一組測量值的偏離程度。或者說,多次測量時,表示測得值重復性的高低。如果多次測量的值都互相很接近,即偶然誤差小,則稱為精密度高。可見精密度與偶然誤差相聯系。

2.準確度:表示一組測量值與真值的接近程度。測量值與真值越接近,或者說系統誤差越小,其準確度越高。所以準確度與系統誤差相聯系。

3.精確度:它反映系統誤差與偶然誤差合成大小的程度。在實驗測量中,精密度高的、準確度不一定高,準確度高的,精密度不一定高,但精確度高的。則精密度和準確度都高。

精密度高 精密度高 精密度不高

準確度高 準確度不高 準確度不高

五、誤差的傳遞

測量結果可直接從測量值得出的測量叫直接測量。通過對幾個與被測有一定函數關系的量進行直接測量,然后利用函數關系算出被測量大小的測量方法叫間接測量。既然公式中所包含的直接測量都的誤差,那么,間接測量也必然有誤差,這就是誤差的傳遞。設間接測量量Y與n個直接量量X1、X2······Xn有關,dX1、dX2······dXn表示各對應量的絕對誤差,則有:

絕對誤差

相對誤差

結論:

1)間接測量量的絕對誤差等于各直接測量量所決定的函數的全微分,并應取所有偏微分絕對值的和。

2)間接測量的相對誤差等于各直接測量量的偏微分與原函數的比值的絕對值之和。

六、誤差的處理

由于誤差的存在,測量值可能比真值大,也可能比真傎小,故在可能情況下,總是采用重復多次測量,然后取其平均值,這個平均值必然更接近其真值。

設在相同條件下對某一物理量X進行n次重復測量,其測量值分別為X1、X2······Xn

則平均值:

若為多次測量,則用多次測量的平均值代替真值。

平均偏差:

相對誤差:

標準誤差:

下面將實驗中常用的間接測量和直接測量的函數關系和根據這些關系推導出的誤差公式表如下:

數學運算關系

誤 差

公 式

1

絕對誤差

相對誤差

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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