《直線的傾斜角和斜率》

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7.1直線的傾斜角和斜率(第一課時)

教學設計

《全日制普通高級中學教科書(必修)數學第二冊(上)》

(人教版)第七章第一課《直線的傾斜角和斜率》

青海湟川中學數學教師 陶世元

2010年9月

7.1直線的傾斜角和斜率(第一課時)整體設計

本節課是《全日制普通高級中學教科書(必修)教學第二冊(上) 》(人教版)第七章第1節課《7.1直線的傾斜角和斜率》。根據實際情況,這是第一課時。

本節教學是高中解析幾何內容的開始。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一,是刻畫直線傾斜程度的幾何要素和代數表示,是平面直角坐標系內以解析法(坐標法)的方式來研究直線及其幾何性質(如直線的位置關系、夾角、點到直線的距離等)的基礎。

通過本節內容的學習,幫助學生初步了解直角坐標系內幾何要素代數化的過程和意義,初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法,進一步培養學生對函數、數形結合、分類討論思想的應用知識。本課有著開啟全章,奠定基調,滲透方法的作用。

用坐標法解決幾何問題是解析幾何的主要目標,其本質是抽象的代數語言和直觀的集合語言之間的數學對話。

對直線的方程和方程的直線的概念的理解需要一個過程。在本節教學中,將一次函數與其圖象的對應關系,直接轉換成直線方程與直線的對應關系,只需學生對其有一個初步的了解,為今后學習曲線和方程的概念作準備。

直線的傾斜角和斜率都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的。傾斜角是直接用幾何要素反映這種傾斜程度的。斜率等于傾斜角的正切值,是用函數刻畫直線傾斜程度的代數表示,定義本身從“數”和“形”兩方面溝通了表示直線傾斜程度的內在聯系,將直線的傾斜度和實數之間建立對應關系,使幾何問題的研究具有了普遍性。

由于在解析幾何中,通過過兩點的直線的斜率公式,把斜率坐標化,在研究直線時比使用傾斜角更方便。因此,它是研究直線問題的重要工具。正確理解斜率的概念,掌握過兩點的直線的斜率公式,是學習直線方程,研究直線的位置關系等許多問題的關鍵。

目標:了解直線的方程和方程的直線概念,理解直線的傾斜角和斜率概念,掌握過兩點的直線的斜率公式。

目標解析:通過斜率概念的構建和斜率公式的探究,經厲幾何問題代數化的過程,滲透數形結合、分類討論的思想方法,強化函數的應用意識,訓練學生的逆向思維能力。通過師生的雙邊活動使學生進一步獲得分類討論、抽象概括等研究數學的規律和方法,培養學生周密思考,主動學習、合作交流的意識和勇于探索的良好品質。

1、兩點確定一條直線,這是學生知道的,但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線,以及如何來刻畫這個量,對學生來說有點困難,所以在教學過程中,通過逐個給出的三個問題,讓學生在討論后形成傾斜角的概念。

2、斜率概念的學習是本節的難點,學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向,而且每一條直線的而傾斜角是唯一的,而斜率卻不這樣,另外,為什么要用傾斜角的正切定義斜率對學生也有一定的困難,教學中從計算具體的直線的傾斜角入手,通過師生對話探究,從學習斜率的必要性、合理性、完備性三個角度進行突破。

3、過兩點的斜率概念的建立是本節又一難點,受思維定勢影響,在坐標系中,學生應用幾何法探究斜率公式是必然,應重視這一方法,除此之外,要積極引導學生應用向量法,把幾何要素用點的坐標來刻畫描述,使幾何問題代數化。

1、教學上應用新課標理念,以啟發式為主。亞里士多德講:“思維從問題,驚訝從開始”。通過問題驅動法,采用師生對話的方式,能使學生在討論探究中激發學習新知識的興趣和欲望,也可加深對得到概念的理解。

2、本節課采用學導式,改變了以往研究斜率的方法,讓學生從數、形兩個不同的角度對斜率公式進行一個全方位的研究,不僅僅是通過對比總結得到斜率的計算公式,更重要的預期是向學生滲透坐標法,體會向量法的優越性,教師可以真正做到“授之以漁”。

3、應用多媒體教具的電教手段彌補在直觀感、立體感和動態感方面的不足,增大了教學內容,增強了學生的思維訓練密度。

4、通過合作學習,上臺展示,讓學生在活動中感受教學思想方法之和諧優美。

重點難點

教學重點:直線的傾斜角和斜率概念,過兩點的直線的斜率公式。

教學難點:斜率概念的學習和過兩點的直線的斜率公式的建立。

教學程序

教學情境

學情預設

設計意圖

3

師:在初中不與坐標軸平行的直線可以用一次

函數來表示,開口向上或向下的拋物線可以用二次函數來表示,這樣就把對圖形的研究轉化為對函數的研究,這里溝通數形關系的橋梁是坐標系。這種以坐標系為橋梁,把幾何問題轉化為代數問題,通過代數運算研究幾何圖形性質的方法,叫坐標法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何。

幫助學生回憶初中平面幾何中的相關概念。可指出前面研究問題的方法稱為“幾何法”,并提示同學們注意它與今后研究問題所用的“坐標法”有何異同。

由函數的概念引入解析幾何,顯得比較自然,學生并不陌生。同時為日后體會“坐標法”解決問題的一般性埋下伏筆。

22

探究一:直線的方程和方程的直線(約3分鐘)

第一步:作:請同學們在直角坐標系中任意畫一個一次函數的圖像,并任取一點標上坐標。

第二步:想:所畫一次函數的解析式是否是方程?如果是,是何方程?

第三步:探討:方程的解和直線上的點有何對應關系?

當學生歸納出方程的解和直線上的點存在一一對應關系時,師生共同總結出直線的方程和方程的直線(幻燈片):

以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點;反之,這條直線上點的坐標都是這個方程的解。這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個方程的直線。

(1)個別學生有可能畫出形如“y=a”或“x=a”的圖像,應及時指出它們雖不是一次函數,但仍是直線,可引導同學們考慮其中方程的解和直線上的點的關系。為后面分類討論作準備。

(2)學生準確說出方程的解和直線上的點的對應關系有一定的困難,可積極引導學生應用逆向思維。

1.直線方程的概念通過一次函數的解析式與圖像的對應關系引入比較自然。

2.直線方程的概念學習需要一個過程,直線的方程和方程的直線概念的描述中體現出來的逆向思維與本節學習重點直線的傾斜角和斜率的關系中的逆向思維一致。

探究二:直線的傾斜角(約5分鐘)

問題逐個給出:

(1)

大家觀察剛才所畫的圖像,對于平面直角坐標系內的一條直線L,它的位置由哪些條件確定?

(2)一點能確定一條直線嗎?再加一個什么條件就可以確定一條直線?

(3)什么是直線的傾斜角?如何定義?范圍是什么?

在學生討論的同時,師板書(為了加深對概念的理解),畫出下圖直線的傾斜角。

y

y

L2

L1

O

O

x

x

y

(1)(2)

y

L3

L4

O

O

x

x

(3) (4)

師:確定平面直角坐標系中一條直線位置關系的幾何要素是定點和傾斜角。

師生共同幻燈片歸納總結:

(1)在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小角正角記為,那么就叫做直線的傾斜角。

(2)當直線和x軸平行或重合時,規定直線的傾斜角為0o 。

故傾斜角的范圍是

對于問題(2),學生如果回答“再加一個表示傾斜程度的量”就順勢引出傾斜角的概念。如果學生已經看到課本上傾斜角的概念,就直接讓學生討論問題(3)。

關于問題(3),學生可能說出直線向上的方向與y軸正向之間所成的角是傾斜角。此時應立即點撥學生,為什么這樣定義不合適。

在總結出直線的傾斜角概念后可根據學生理解的實際情況做詳釋:

直線的傾斜角是一個幾何概念,它直觀地描述和表現了直線向上的方向和x軸正方向所成的最小正角。可簡記為“上”,“正”,“正”。

從研究直線方程的需要出發,引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率的概念,符合學生的認知特點。

通過環環相扣的三個問題,讓學生在討論后得出傾斜角的概念,使學生有成就感,亦可加深學生對得到概念的理解。

對于直線和x軸平行或重合的認識理解,可培養學生周密的思維能力,強化應用分類討論思想的意識。

“上”,“正”,“正”是將傾斜角概念做出的精煉概述,可加強記憶。

探究三:讓學生討論給出直線的斜率的定義(約6分鐘)。

y

1你能求出下圖中直線的傾斜角嗎?

y=

1

B

A

O

x

同學們經過計算回答60o

師:說說你們的算法!可能出現的方法是:

生1:在Rt?AOB中,由得出。

生2:在Rt?AOB中,由得出。

生3:應用也可以。

2同學們還能定義別的表示直線傾斜程度的量嗎?

3應用哪一個三角函數更能合理地表示直線的傾斜程度?

借住師生、生生間的辨析得出斜率的概念:

定義:(1)傾斜角不是90o的直線,它的傾斜角的正切叫做直線的斜率。用k表示,即

(2)傾斜角是90o的直線沒有斜率。

教師可以接著問:傾斜角為60o 和120o的直線的斜率為多少?

用幻燈片出示第36頁例1,板書解的過程。

4師:有了傾斜角的概念,為什么還用斜率來表示直線的傾斜程度?

僅用傾斜角這個幾何概念來刻畫直線的方向是不符合解析思想的(即用代數思想研究幾何問題)由此想到三角函數,因為可設,這樣就可以從代數的角度去刻畫直線對x軸的傾斜程度。

有的同學預習了課本,已見到斜率的概念,可以問為什么采用tan, 而不是別的三角函數。在學生經過思考討論后,讓學生明確:

平面內的任意一條直線都有且只有一個傾斜角,傾斜角的大小確定了,直線的方向也就確定了,傾斜角不同,直線的傾斜程度也不同。那么所用函數盡可能是一一映射且單調性一致才更加合理。分析各種三角函數,采用,只需補充時斜率不存在即可。

對于定義(2),可通過師生對話明確1.當傾斜角是90o時,直線的斜率不存在,并不是該直線不存在,此直線垂直于x軸2.所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率。

1.通過師生對話,引出用斜率表示直線傾斜程度的必要性。

2.讓學生自己定義斜率的概念,可增強成就感,激發學習興趣,有利于該難點的突破。

3.函數的應用應與實際研究問題的需要相結合。只有這樣直線的傾斜角與斜率兩個概念才能“和諧”共存,都能表示直線的傾斜程度,體現數學中的“和諧”美。

4.可加深對分類討論思想的應用意識。亦可完善對斜率概念的理解。

5.采用數形結合,將直線的傾斜度和實數之間建立對應關系,使幾何問題的研究具有了普遍性,充分體現“坐標法”在數學研究中劃時代的歷史意義。

探究四:直線的斜率公式(8分鐘)

師:在坐標平面內,已知兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),就能確定一條直線,當傾斜角不等于90°時,這條直線的斜率也是唯一確定的,那么,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率呢?

第一步:提出兩個問題

(1)如何求斜率K?

(當時,由

(2)計算可以從什么角度計算?用什么方法?

(可以構造直角三角形由入手,還可以根據定義,將角平移使始邊與x正半軸重合,頂點與坐標原點重合,在終邊上取一點P(x,y)用來計算)

第二步:分組活動,合作學習

師:下面就從這兩個不同角度來計算斜率。

(1)讓學生分兩大組,一組從構造直角三角形入手計算斜率,另一組通過向量來計算斜率。

(2)每一大組再分幾個合作小組,直線的傾斜角取不同的值。

第三步:交流,總結

教師在巡視中關注各組研究情況適時給予點撥、指導。條件成熟時,要求學生分析,除了公式是否還可得到一些有價值的副產品(如對直線的方向向量的感性認識)。

可選一些有代表性的小組上臺展示成果,得出斜率公式:

第四步:歸納向量法推導斜率公式的要點,定義直線的方向向量:直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量,其坐標是: ,當時, =(1,k)也是它的方向向量。

在探究中應向學生指出:

(1)斜率公式與兩點的順序無關,即橫縱坐標在公式中的前后次序可以用時顛倒;

(2)斜率公式表明,直線對于x軸的傾斜程度可以通過直線上任意兩點的坐標表示,而不需要求出斜角,使用時比較方便;

(3)當x1=x2時, =90°, 斜率不存在。

在坐標系中,學生應用幾何法探究斜率公式是必然,應重視這一方法。學生有可能對傾斜角為鈍角的情況不太注意,應要求學生取不同的傾斜角進行分析,并給予適時的點撥和幫助。

應用向量法探究斜率公式的學生,可能對

取向上的方向不太注意,將平移至起點與坐標頂點重合時,結合三角函數的定義是思維上的障礙,考慮到學生的個體差異,教師應從向量的定義、三角函數的定義等方面對個別 小組進行適時的點評、指導。

問題(1)讓學生復習斜率概念可起到承上啟下的作用。

問題(2)引導學生從不同的角度計算斜率,并對學生進行數形結合、分類討論、一般→特殊→一般等數學思想方法的有機滲透。

通過合作學習,讓學生充當學習的主體,體會用“坐標法”研究幾何問題的一般 方法和對得到結論的理解。

讓學生上臺展示可訓練分析和表達問題的能力。

過兩點的直線的斜率公式的建立是本節難點,讓學生在交流中從兩方面進行探究解決使該難點的突破顯得自然。同時讓學生在探究中逐步意識到向量是處理直線方程中許多問題的重要工具。

6

師:求經過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線的斜率和傾斜角。

解:,即

,傾斜角是135o。

師:在平面直角坐標系中,畫出經過原點,且斜率分別為1, -1,-2,-3的直線L1 ,L2 ,L3 ,L4 。

L3

分析:要畫經過原點的直線,只需再找一個點,若設L1 上A1(x1 ,y1 )則由,只需取滿足的任意點均可,如(1,1)。類似可畫出其它直線。

L4

· A3(1,2)

y

L2

L1

· A1(1,1)

O

x

· A2(1,-1)

· A4(-1,-3)

本題考查公式的直接應用問題,學生估計能做的很好!可找二同學板演,其他同學除做本題外,還做書中P37練習1,3。

本題屬斜率公式的逆用問題,學生有可能對L1 ,L2 求出傾斜角畫直線。

通過典例分析,訓練斜率公式的正用與逆用問題,培養學生的逆向思維能力。

學生畫出圖后,可增強“坐標法”與數形結合的意識。

讓學生體會用“特例法”解題帶來的方便。

7

師:練習P39 中4。

請2位同學板演4。

師:做書上P39頁練習2,并進一步討論斜率與傾斜角的取值范圍。

可酌情給出:

(1)

(2)

(3)

時討論k范圍。條件成熟時問,反之,給出k的范圍,如何求的范圍。

畫出

的函數圖像來討論與k之間的關系,可加深對直線的傾斜角和斜率概念的理解,強化函數的應用意識,為下節內容打下基礎。

對練習的進一步思考,可以讓學生深入的研究直線的傾斜角與斜率的內在聯系,完善對直線的傾斜角和斜率認識的系統性和深刻性。將學生的思維引領向更高的層次。

2

小結回顧:

通過本節的學習,你學到了哪些知識?這些知識是從什么角度研究的?你又掌握了哪些學習數學的方法?

用坐標法探究了直線的傾斜角的概念。從函數的角度定義了直線的斜率。用向量法(坐標法)和幾何法研究了斜率公式。

學生可能僅僅把直線的傾斜角和斜率的概念、公式總結一下,要引導學生談談如何應用坐標法,在數形結合,分類討論思想的關照下,研究幾何問題的。

不僅僅小結本節學到的知識,更重要的是讓學生感知研究數學問題的一般方法,以便將其遷移到以后研究直線的位置關系中去。

作業:習題7.1 1.2.3.4.5

補充作業:

求經過兩點A(2,-1)和B(a,-2)的直線L的傾斜角。

習題7.1 1.2.3.4.5估計問題不大,根據實際情況可對補充題作一些提示。

補充題意在增強分類討論的意識,為以后研究直線的位置關系做準備。

7.1直線的傾斜角和斜率(第一課時)

教學設計說明

1、

教學內容分析

本節課是《全日制普通高級中學教科書(必修)教學第二冊(上) 》(人教版)第七章第1節課《7.1直線的傾斜角和斜率》。根據實際情況,這是第一課時。

本節教學是高中解析幾何內容的開始。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一,是刻畫直線傾斜程度的幾何要素和代數表示,是平面直角坐標系內以解析法的方式來研究直線及其幾何性質的基礎。

通過本節內容的學習,幫助學生初步了解直角坐標系內幾何要素代數化的過程和意義,初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法,進一步培養學生對函數、數形結合、分類討論思想的應用意識。本課有著開啟全章,奠定基調,滲透方法的作用

二、教學目標分析

了解直線的方程和方程的直線概念,理解直線的傾斜角和斜率概念,掌握過兩點的直線的斜率公式。經厲幾何問題代數化的過程,培養學生周密思考,主動學習、合作交流的意識和勇于探索的良好品質

3、

教學問題診斷分析

1、兩點確定一條直線,這是學生知道的,但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線,以及如何來刻畫這個量,對學生來說有點困難,所以在教學過程中,通過逐個給出的三個問題,讓學生在討論后形成傾斜角的概念。

2、斜率概念的學習是本節的難點,學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向,而且每一條直線的而傾斜角是唯一的,而斜率卻不這樣,另外,為什么要用傾斜角的正切定義斜率對學生也有一定的困難,教學中從計算具體的直線的傾斜角入手,通過師生對話探究,從學習斜率的必要性、合理性、完備性三個角度進行突破。

3、過兩點的斜率概念的建立是本節又一難點,受思維定勢影響,在坐標系中,學生應用幾何法探究斜率公式是必然,應重視這一方法,除此之外,要積極引導學生應用向量法,把幾何要素用點的坐標來刻畫描述,使幾何問題代數化。

四、教法特點及預期效果分析

1、教學上應用新課標理念,以啟發式為主。亞里士多德講:“思維從問題,驚訝從開始”。通過問題驅動法,采用師生對話的方式,能使學生在討論探究中激發學習新知識的興趣和欲望,也可加深對得到概念的理解。

2、本節課采用學導式,改變了以往研究斜率的方法,讓學生從數、形兩個不同的角度對斜率公式進行一個全方位的研究,不僅僅是通過對比總結得到斜率的計算公式,更重要的預期是向學生滲透坐標法,體會向量法的優越性,教師可以真正做到“授之以漁”。

3、應用多媒體教具的電教手段彌補在直觀感、立體感和動態感方面的不足,增大了教學內容,增強了學生的思維訓練密度。

4、通過合作學習,上臺展示,讓學生在活動中感受數學思想方法之和諧優美。

五、教學過程及設計意圖

(1)

情境創設,引出課題(約3分鐘)

(2)

師生互動,探究新知(約22分鐘)

探究一:直線的方程和方程的直線

通過作、問、想三步曲,師生共同總結出直線的方程和方程的直線的概念。

探究二:直線的傾斜角

逐個明確問題:

(1)對于平面直角坐標系內的一條直線L,它的位置由哪些條件確定?

(2)一點能確定一條直線嗎?再加一個什么條件就可以確定一條直線?

(3)什么是直線的傾斜角?如何定義?范圍是什么?

后得出直線的傾斜角概念。

設計意圖:讓學生在討論中得出傾斜角的概念,可激發興趣,使學生有成就感,。

探究三:讓學生討論給出直線的斜率的定義

1你能求出下圖中直線的傾斜角嗎?

2同學們還能定義別的表示直線傾斜程度的量嗎?

3應用哪一個三角函數更能合理地表示直線的傾斜程度?

借住師生、生生間的辨析得出斜率的概念。

設計意圖:要讓學生在探究中明確,有了傾斜角的概念,為什么還用斜率來表示直線的傾斜程度,為什么采用正切函數而不是別的三角函數。將直線的傾斜度和實數之間建立對應關系,使幾何問題的研究具有了普遍性,亦可增強函數的應用意識。

探究四:直線的斜率公式

第一步:提出兩個問題

(1)如何求斜率K?

(2)計算可以從什么角度計算?用什么方法?

第二步:分組活動,合作學習

第三步:交流,總結

第四步:歸納向量法推導斜率公式的要點,定義直線的方向向量。

設計意圖:引導學生從不同的角度計算斜率,經厲幾何問題代數化的過程,并對學生進行數形結合、分類討論、一般→特殊→一般等數學思想方法的有機滲透。同時讓學生在探究中逐步意識到向量是處理直線方程中許多問題的重要工具。

(3)

典例分析,能力提升(約6分鐘)

1.求經過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線的斜率和傾斜角。2.在平面直角坐標系中,畫出經過原點,且斜率分別為1, -1,-2,-3的直線L1 ,L2 ,L3 ,L4 。

設計意圖:通過本例,培養學生的逆向思維能力,增強“坐標法”與數形結合的意識。

(4)

鞏固練習,延伸探究(約7分鐘)

練習P37 中4、P37頁練習2,并進一步討論斜率與傾斜角的關系。

設計意圖:對練習的進一步思考,可以讓學生深入的研究直線的傾斜角與斜率的內在聯系,完善對直線的傾斜角和斜率認識的系統性和深刻性,為進一步學習直線的傾斜角與斜率做好準備。

(5)

梳理歸納,拓展升華(約2分鐘)

小結回顧:通過本節的學習,你學到了哪些知識?這些知識是從什么角度研究的?你又掌握了哪些學習數學的方法?

設計意圖:不僅僅小結本節學到的知識,更重要的是讓學生感知研究數學問題的一般方法,將學生的思維引領向更高的層次,以便將其遷移到其他知識的研究中去。

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《原本》與公理化方法 小結 復習參考題 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率 探究與發現 魔術師的地毯 3.2 直線的方程 3.3 直線的交點坐標與距離公式......

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直線,一次項的系數就是直線的斜率,只不過當直線與X...l向上的方向之間所成的角α定義為直線l的傾斜角。...高一數學《3.1.1 傾斜角... 暫無評價 4頁 ......

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因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線的斜率①定義:傾斜角不是90°...《商業計劃書》規范化格... 暫無評價 18頁 29.98 正確把握格式 促進公文......

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高一政治必修一《經濟生... 暫無評價 10頁 高中物理必修二知識總結... ...(2)k與P1、P2的順序無關;(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標......

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東財《微觀經濟學》在線作業一_社會學_人文社科_...相同的,都是水平的直線 B. 前者是水平的后者是...A. 向上傾斜的 B. 斜率為正 C. 勞動力邊際收益......

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直線的傾斜角和斜率 11.3 兩條直線的位置關系 11.4 點到直線的距離 第1...

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本教科書根據教育部頒發的《普通高中數學課程標準(實驗)》(簡稱"標準")編寫,為...確定直線的幾何要素(一個點的坐標和傾斜角即斜率),并根據幾何特征推導直線方程,......

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內已知直線上一點和直線的斜率或已知直線上兩點會求直線的方程;給出直線的點斜...(0 3) 傾斜角是0°; (5)經過點E(4 -2) 傾斜角是120° .解: 2.(......

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《微觀與宏觀經濟學》考試題—簡答題_經濟學_高等...之則小,這兩種情況下,需求曲線向右上方傾斜,斜率為...是說單個廠商的產品需求曲線是一條與橫軸平行的直線......

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上發布的《汽車理論》真題,按照題目類型和重要程度(...由于路面的側向傾斜、側向風或曲線行駛時的離心力等...Fμ1的函數曲線為一條過坐標原點的直線,斜率為 1......

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