最小的余數是1還是0

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最小的余數是1還是0?

[ 2011-3-22 11:30:00 | By: 陽光雨露 ]

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最小的余數是1還是0?

最小的余數是1還是0?這個問題你選擇哪個答案?當除數是6,余數可以是幾?你是填0-5,還是1-5?

這都涉及余數可不可以是0的問題。九義教材中余數是0被認為是沒有余數,1被認為是最小的余數。但實驗教材有不同的理解。下面的文章我覺得在所有的參考資料中說得是比較清楚明白的,推薦給同仁們參考。

【轉】淺談在整數除法中余數可以為零

一、 困擾教師的問題

  不少小學數學教師問過我這樣一個問題:“在整數除法中,余數可不可以為0?”這個問題早有定論,于是我不假思索地肯定作答:“余數當然可以為0。”不料對于這一答案,他們并不同意,其理由如下:

  第一,人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》,從一年級上冊到六年級下冊,里面均無“余數可以為0”的表述。

  第二,《現代漢語詞典》(修訂本)(商務印書館, 1996 年 )第1553頁對“余數”一詞的解釋為:“整數除法中,被除數未被除數整除所剩的大于0而小于除數的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余數是3。”這就表明余數不能為0。

  在數學課本中找不到“余數可以為0” 的論述,而在詞典中卻找到了“余數不能為0”的證據,難怪讓他們對我的答案持懷疑態度。面對這樣一個困擾小學數學界同仁的問題,該怎樣來正本清源呢?

  我仔細地查閱了人教版全套小學數學課本,確實沒找到“余數可以為0”的表述,只在三年級下冊第26頁練習六第3題的指令性語言中,發現了三處“余數為0”的表述。我知道,這樣的表述既不是出現在正文中,又沒有說明道理,不足以成為論據。課本中沒有,看來只有通過合理思辨和相關考證來達到為小學同仁解惑之目的了。

  二、解惑所需的思辨

  1.要用對立統一的觀點看待0

  眾所周知,當盤子中連一個桃子都沒有時,我們就說這盤中桃子的個數為0。從這個意義上講,0是空集的基數,0表示“沒有”。然而,0又是一個確定的數,它是自然數列的起始數,它既不是正數,也不是負數,它是唯一的中性數。從這個意義上講,0又表示“有”。這一點不難理解。比方說,小明在黑板上寫了一個“0”,你總不能說他什么都沒寫吧!再比方說,某地某時的氣溫為0攝氏度,你總不能說該地該時沒有溫度吧!所以,我們應該用對立統一的辯證觀點看待0,懂得0既可表示“無”,又可表示“有”。用這一觀點考察整數除法,我們不難發現,當15÷5時,得到整數商3,既可以說“沒有余數”,也可以說“余數為0”,這兩種說法是完全等價的,因而都是正確的。

  2.要用發展變化的觀點看待概念間的關系

  人們對數學概念的認識并非一成不變的,而是處于不斷發展變化之中的。例如,“整數”與“分數”最初是兩個并列的概念,它們相互排斥,涇渭分明,不容混淆。然而,出于數學自身發展的需要,后來,人們又把整數看做是分母為1,分子為該整數的假分數,如3=3/1,65=65/1。這樣一來,“分數”的外延就擴大了,“整數”與“分數”的關系也由并列關系轉變為包含關系。“整數”成了“分數”的特例,整數集成了分數集的真子集。原先,整數集與分數集之并集才是有理數集,后來,這種廣義的分數集實際上就是有理數集了。

  與此類似,人們研究整數除法時,先研究被除數能被除數整除的情形,如15÷5,正好得到整數商3,記作15÷5=3。后來才研究有余數的情形,如16÷5,得到不完全商3后還余1,記作16÷5=3…1。起初,“整除”與“有余數的除法”也是并列而互斥的概念,前者沒有余數,后者有余數,互不相容。后來,為了研究的方便,人們干脆把“有余數的除法”的外延擴大,讓它把原先的兩個概念一并囊括。因為這很容易辦到:只要把“整除”時的“沒有余數”看做“余數為0”即可。這樣一來,“整除”就成了“有余數的除法”的特例,“整除”與“有余數的除法”也就順理成章地由對立變成統一,二者統一于廣義的“有余數的除法”之中。

  3.“余數為0”的說法有據可查

  事實上,“余數為0”的提法早已被數學界認可。

  ⑴《小學數學教師手冊》(人民教育出版社,1982年)第49頁有如下表述:

  “判定一個整數能不能被另一個正整數整除,只需進行除法運算即可。如果所得的余數為0,就是整除的情況;如果所得的余數不為0,就是不能整除的情況。例如:

  ①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。這表明91=13×7。即91能被13整除。

  ②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。

  一般地,對于整數a和正整數b,如果進行除法a÷b得商q,余數為r,就有a=bq+r。其中0≤r

  ⑵《數學手冊》(人民教育出版社,1979年)第1057頁“數論”的“輾轉相除法”中,有如下表述:

  “每一個整數a可以唯一地通過正整數b表示為a=bq+r, 0≤r

  上述不等式0≤r

  值得注意的是,“輾轉相除法”又稱“歐幾里得算法”,我國宋代數學家秦九韶早在公元1247年即在其著作《數書九章》中,對這一算法進行過卓有成效的研究。

  ⑶《數學手冊》(人民教育出版社,1979年)第1066頁“數論”的“同余式”中,有如下表述:“設以m為模,則可將全體整數分為m個類,同類的數都同余,不同類的數都不同余,稱這樣的類為同余類,每類中各取一數為代表,例如:0,1,2,…,m-1構成一個完全剩余類。”

  由此易知,在以0為代表的這個剩余類中,每個數除以m,所得的余數均為0。也就是說,此類數中的每一個都是m的倍數。

  事實上,我們不僅從剩余類的理論中,看到了對“余數為0”的認可,還可以運用剩余類的理論和“抽屜原理”來解答一類有關整除性的題目。載有這類題目并給出解答的數學書籍比比皆是,下面舉一例。

  求證:在任意四個整數中,必有這樣的兩個數,它們的差能被3整除。

  證明:因為任何整數除以3,所得余數只可能是0,1,2三種。也就是說,所有整數按其除以3所得余數來分,可分為余數分別為0,1,2的三個剩余類。把每個剩余類都看做一個抽屜,三個剩余類就是三個抽屜。根據“抽屜原理”,把四個整數放進三個抽屜,至少有一個抽屜里會有兩個整數。這兩個整數既屬同一個剩余類,它們除以3所得的余數必然相同,故其差除以3所得的余數必為0,也就是說,這個差必能被3整除。

  三、教材修改的建議

  綜上所述,在整數除法中,余數的確是可以為0的。但在現行的人教版小學數學教材中,對此卻完全不予涉及,遂令在教學中起主導作用的教師迷茫不解,實在沒有道理。由此觀之,教材必須修改。

  1.教材修改的重要意義

  ⑴有利于學生認識0的雙重意義,知道0既可表示“無”,又可表示“有”。使用修改后的教材教學,能讓學生初步感知對立統一的辯證思想。

  ⑵有利于學生用發展變化的辯證唯物主義觀點認識概念間的關系,知道當學習了“有余數的除法”后,原來的“整除”(包括“表內除法”)可以看做是“有余數的除法”的特例,由此理解“特殊”與“一般”的關系。

  ⑶有利于學生后續的數學學習。

  2.教材修改的具體意見

  ⑴ 要明確指出“沒有余數”就是“余數為0”。

  人教版小學數學三年級上冊第四單元“有余數的除法”第50頁例題1為:“搬15盆花布置會場,每組擺5盆,可以擺幾組?”解答此題的橫式為 15÷5=3(組)。接著,課本上還列出了豎式。

  這道例題顯然起著承上啟下的作用:既承接二年級下冊的“表內除法”,又由此介紹除法豎式,為“有余數的除法”的教學作鋪墊。

  第51頁例題2是:“一共有23盆花,每組擺5盆,最多可以擺4組,還多3盆。”這是“有余數的除法”的首個例題。解答時,課本上先列出橫式:

  23÷5=4(組)……3(盆)。

  再在橫式下方列出豎式,并用虛線將兩個式子中的3連接,標上“余數”二字。

  課本上述編排頗具匠心,但還應作點補充。建議在這兩道例題后面,不失時機地編排一段對“0”的辯證認識的文字,讓學生懂得:“0”雖然表示“沒有”,但它同時又是一個確定的數,從這個意義上講,“0”也表示“有”。緊接著,還要引導學生對這兩道例題的豎式進行觀察和比較,發現例題1豎式中最下面的“0”與例題2豎式最下面的“3”處于相同的位置,“3”既表示余數,“0”也可看成是余數。過去我們說15÷5恰好等于3,“沒有余數”,現在我們也可說15÷5,商為3,“余數為0”。

  相信這樣處理,學生能在輕松愉快中接受辯證唯物主義思想的啟蒙教育。

  ⑵要明確指出除數為a時,共有a種不同的余數:0,1,2,…,a-1。

  三年級上冊第52頁例題3為:“如果上例中一共有16盆花,可以擺幾組?多幾盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”

  課本上列出了一組式子:

  15÷5=3(組)

  16÷5=3(組)……1(盆)

  17÷5=3(組)……2(盆)

  18÷5=3(組)……3(盆)

  19÷5=3(組)……4(盆)

  20÷5=□(組)

  21÷5= □(組)……□(盆)

  22÷5= □(組)……□(盆)

  23÷5=

  24÷5=

  25÷5=

  在這組式子的右邊,提了一個問題:“觀察余數和除數,你發現了什么?”旨在引導學生發現“余數小于除數”的結論。

  此題編得不錯,無須大改。關鍵是要增加一段文字,要告訴學生:“15÷5=3(組)”也可寫作“15÷5=3(組)……0(盆)”。這樣,展現在學生面前的余數就有0,1,2,3,4五種,就不會由于余數0的隱匿,而使學生誤認為“一個整數除以5,只有1,2,3,4四種余數”了。

  到四年級學習了“用字母表示數”后,課本還應當用更具概括性的語言告訴學生:在整數除法中,如果除數是a,則余數只能是0,1,2,…,a-1,一共有a種。

  當今時代,數學不僅作為工具,發揮著越來越重要的作用,而且,數學作為一種文化,也日益深入人心。近年來,人們對0的雙重意義的認識越來越到位了。這不,沒有距離被稱作“零距離”;不收關稅被稱作“零關稅”。把沒有誤差稱作“零誤差”;把沒有風險稱為“零風險”。而像“零增長” “零收益” “零虧損” “零排放” “零損耗” “零學費” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之類的提法早已見諸各媒體。隨著時間的推移,像這類以“零××”為模式的詞匯還在不斷地誕生。前些時候,美國國務卿希拉里·克林頓由于不滿下屬的荒唐行為,還首創了“零忍耐”一詞,令人頗感新鮮。

  “0”本是數學中的元素,在數學的整數除法中,又實實在在地存在著余數為0的現象,而為什么在我們的小學數學教科書上,反倒連一個“零余數”都不敢提呢?這真是:墻外百花齊放,墻內掖掖藏藏。令人不解其意,空自扼腕嗟傷!

  教科書是師生進行教學活動的重要資源和主要依據,該說清的一定要說清,該指明的一定要指明。一切都要為學生的發展著想。千萬別把一些該讓孩子們知道的數學知識“堅壁清野”,而且還藏得那么干凈徹底,藏得那么了無痕跡,讓教師都困擾莫名。試想,如果教科書都讓教師 “找不到北”了,那么我們的孩子又能聰明到哪里去呢?

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乘除法計算練習(余數補0)1 - 計算練習 1 1、能簡便就簡便: 12.5×3.2×2.5 姓名 2.5×4.4 - 2.5×0.4 1、能簡便就簡便: 12.5×0.56×2.5 計算練......

有余數的除法練習題(1).doc

《有余數的除法》復習題一、直接寫出下面各題的商和余數。 35÷8= 29÷5= ...)。)。 ,最小是 )。)。。個。 。( 5 。 (4) 9 )4 8 4 5 0 )(......

數學小考模擬試題1.txt

3、在0.6、66%、和0.666這四個數中,最大的數最( ),最小的數是( )。...() 6、1.3除以0.3的商是4,余數是1。 () 三、選擇,把正確答案的序號......

同余問題口訣.txt

同余問題口訣 - “差同減差,和同加和,余同取余,最小公倍加”這是同余問題的口訣。 所謂同余問題,就是給出“一個數除以幾個不同的數”的余數,反求這個數......

50個java筆試和面試常用的算法小程序111.txt

下一輪循環的大數,取得的余數作為下一輪循環的較小的數,如此循環直到較小的數的值為0,返回較大的數,此數即為最大公約數,最小公倍數為兩數之積除以最大......

除數、商、余數的和是187,求被除數。.txt

除數、商、余數的和是187,求被除數。_數學_小升初_小學教育_教育專區。把不...但媽媽把其中一件羽絨服的單價個位上的0弄丟了,于是王紅說:“媽媽,你應付......

1 數論基礎知識.txt

除法定理,余數和同模已知一個整數n,所有整數都可以分劃為是n的倍數的整數與不...如果n ≠ 0,則gcd(an,bn)是集合{anx + bny}中的最小正元素,即為集合{......

如何用c語言求最大公約數和最小公倍數.txt

輸入兩個正整數m和n, 求其最大公約數和最小公倍數. <1> 用輾轉...temp=0; for(;b%a!=0;a=temp%a) //b與a的相除的余數肯定含有最大公約......

身份證驗證小程序.txt

余數標志結果 char[] idcard = idCardNum.toCharA...

二年級數學下冊 有余數的除法3一課一練(無答案) 青島版....txt

暫無評價|0人閱讀|0次下載 | 舉報文檔 二年級數學下冊 有余數的除法3一課一...3. 做一件小風衣用2米布,11米布最多可以做幾件? 1 +申請認證 文檔貢獻者......

1.一個三位數除以43,商是a,余數是b,則a b的最大值是:.txt

1.一個三位數除以43,商是a,余數是b,則a b的最...A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 8.某商店規定每4個...喜歡此文檔的還喜歡 關于發展小微金融,破解兩... ......

剩余定理個人小結.txt

2、和同加和:用一個數除以幾個不同的數,得到的余數,與除數的和相同,此時反...N=0 即最小的數為7 此類數為180N+7 又因為求三位數 所以1000/180=5 即......

矛與盾的較量(1)——CRC原理篇.txt

首先看兩個式子:式一:9 / 3 = 3 (余數 = 0)式二:(9 + 2 ) / 3 ...還有兩點重要聲明如下: 1、只有當Bitstring的最高位為1,我們才將它與poly進行......

專升本《數據結構》入學考試大綱 - 百度文庫.txt

(1)生成樹、最小生成樹的概念。 (2)最小生成樹...(2)構造哈希函數的方法(除留余數法等)。 (3)處理...0下載券 下載 加入VIP 享專業文檔下載特權 贈共......

數據結構(本科)課程期末復習 - 百度文庫.txt

中最多邊數和最少邊數 n(n-1) --> n或 0 ...> 當在 n 個數據(n很大)中選出最小的 5 ? 8...* 散列表中散列函數的設計原則及除留余數法的設計 ......

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